A fórmula de Black-Scholes, explicada

Introdução à equação mais famosa em finanças

Jørgen Veisdal Segue 14 de jul · 12 min ler

O modelo Black-Scholes é um modelo matemático que simula a dinâmica de um mercado financeiro contendo instrumentos financeiros derivativos. Desde a sua introdução em 1973 e refinamento nos anos 70 e 80, o modelo tornou-se o padrão de fato para estimar o preço das opções de ações ao estilo europeu. A idéia-chave por trás do modelo é proteger as opções em uma carteira de investimentos, comprando e vendendo o ativo subjacente (como uma ação) da maneira correta e, como conseqüência, eliminando o risco. O método tornou-se mais tarde conhecido nas finanças como “hedge delta continuamente revisado” e foi adotado por muitos dos principais bancos de investimento e fundos de hedge do mundo.

O objetivo deste artigo é explicar a base matemática da equação de Black-Scholes, suposições e implicações subjacentes.

Leitura feliz!

O modelo Black-Scholes

O modelo Black-Scholes é um modelo matemático que simula a dinâmica de um mercado financeiro contendo instrumentos financeiros derivativos, tais como opções , futuros , forwards e swaps . A principal propriedade do modelo é que ele mostra que uma opção tem um preço único, independentemente do risco do título subjacente e seu retorno esperado. O modelo é baseado em uma equação diferencial parcial (PDE), a chamada equação de Black-Scholes , da qual se pode deduzir a fórmula de Black-Scholes , que fornece uma estimativa teórica do preço correto das opções de ações européias.

Suposições

O modelo original de Black-Scholes é baseado em uma suposição central de que o mercado consiste em pelo menos um ativo de risco (como uma ação) e um (essencialmente) ativo livre de risco, como um fundo de mercado monetário, dinheiro ou títulos do governo. . Além disso, assume três propriedades dos dois ativos e quatro do próprio mercado:

  • Suposições sobre os ativos no mercado são: 1. A taxa de retorno sobre o ativo livre de risco é constante (assim efetivamente se comporta como uma taxa de juros); 2. Presume-se que o retorno do log instantâneo do preço do ativo de risco se comporta como um passeio aleatório infinitesimal com desvio e volatilidade constantes, mais precisamente, de acordo com o movimento Browniano geométrico . 3. O ativo de risco não paga um dividendo.
  • Suposições sobre o mercado em si são: 1. Não há oportunidades de arbitragem (lucro sem risco); 2. É possível emprestar e emprestar qualquer quantia em dinheiro à mesma taxa que a taxa de juros do ativo livre de risco; 3. É possível comprar e vender qualquer quantia do estoque (incluindo venda a descoberto); e 4. Não há custos de transação no mercado (isto é, nenhuma comissão para comprar ou vender títulos ou instrumentos derivativos).

Em extensões subsequentes do modelo original, essas premissas foram revisadas para ajustar taxas de juros dinâmicas para o ativo livre de risco (Merton, 1976), custos de transação para compra e venda (Ingersoll, 1976) e pagamentos de dividendos para o ativo de risco ( Whaley, 1981). Neste ensaio, suponha que estamos trabalhando com o modelo original, a menos que indicado de outra forma.

A equação de Black-Scholes

Figura 1 Representação gráfica do preço / valor da opção de compra europeia em relação ao preço de exercício e ao preço das ações, calculado com base na equação de Black-Scholes

A equação de Black-Scholes é a equação diferencial parcial (PDE) que rege a evolução dos preços das opções de ações européias nos mercados financeiros, operando de acordo com a dinâmica do modelo de Black-Scholes (algumas vezes Black-Scholes-Merton). A equação é:

Equação 1. A equação diferencial parcial de Black-Scholes que descreve o preço de uma opção europeia de compra ou venda ao longo do tempo

Onde V é o preço da opção (como uma função de duas variáveis: o preço da ação S e o tempo t ), r é a taxa de juros livre de risco (pense na taxa de juros semelhante àquela que você receberia de um fundo do mercado monetário , Dívida do governo alemão ou títulos de dívida “seguros” semelhantes e ? é a volatilidade dos retornos de log do título subjacente (para os fins deste artigo, estamos considerando ações). Uma derivação pura da equação está disponível na Wikipedia , baseada na Opção, Futuros e Outros Derivados de John C. Hull (1989).

Se reescrevermos a equação para o seguinte formulário

Equação 2. Forma reescrita da equação de Black-Scholes

Então o lado esquerdo representa a mudança no valor / preço da opção V devido ao tempo t aumentando + a convexidade do valor da opção em relação ao preço da ação. O lado direito representa o retorno livre de risco de uma posição longa na opção e uma posição curta consistindo em ações ofV / ?S da ação. Em termos dos gregos :

Equação 3. Teta (?) + Gama (?) = (taxa livre de risco) x (preço da opção) – (taxa livre de risco) x (preço do estoque) x Delta (?)

A principal observação de Black e Scholes (1973) foi que o retorno livre de risco da carteira combinada de ações e opções do lado direito sobre qualquer intervalo de tempo infinitesimal poderia ser expresso como a soma de theta (?) e um termo incorporando gama (?). A observação é às vezes conhecida como “argumento de risco neutro”. Isso porque o valor de theta (?) é tipicamente negativo (porque o valor da opção diminui à medida que o tempo se aproxima da expiração) e o valor de gama (?) é tipicamente positivo (refletindo os ganhos que o portfólio recebe ao manter a opção) . Em suma, as perdas de teta e os ganhos de gama se compensam, resultando em retornos a uma taxa livre de risco.

A fórmula de Black-Scholes

A fórmula de Black-Scholes é uma solução para o PDE de Black-Scholes, dadas as condições de contorno abaixo (eq. 4 e 5). Calcula o preço das opções europeias de compra e venda. Isto é, calcula o preço dos contratos pelo direito (mas não obrigação) de comprar ou vender algum ativo subjacente a um preço pré-determinado em uma data pré-determinada no futuro. No vencimento / vencimento (T), o valor dessas opções europeias de compra (C) e de venda (P) é dado por, respectivamente:

Equação 4 para o valor / preço de uma opção de compra europeia Equação 5 para o valor / preço de uma opção de venda europeia

Black e Scholes mostraram que a forma funcional da solução analítica para a equação de Black-Scholes (eq. 1 acima) com as condições de contorno dadas por eq. 4 e 5, para uma opção de compra europeia é:

Equação 6. A fórmula Black-Scholes para o valor de uma opção de compra C para um stock não pagador de dividendos de preço S

A fórmula fornece o valor / preço das opções europeias de compra de ações não pagas por dividendos. Os fatores que entram na fórmula são S = preço de segurança, T = data de vencimento, t = data atual, X = preço de exercício, r = taxa de juros livre de risco e ? = volatilidade (desvio padrão do ativo subjacente). A função N (?) representa a função de distribuição cumulativa para uma distribuição normal ( Gaussiana ) e pode ser entendida como 'a probabilidade de que uma variável aleatória seja menor ou igual à sua entrada (ie d? e d?) para uma distribuição normal'. Sendo uma probabilidade, a do valor N (?) em outras palavras estará sempre entre 0 ? N (?) ? 1. As entradas d? e d? são dadas por:

Equação 7

Muito informalmente, os dois termos na soma dada pela fórmula de Black-Scholes podem ser considerados como 'o preço atual do estoque ponderado pela probabilidade de que você exercerá sua opção de comprar o preço' menos 'do preço com desconto do exercício. a opção ponderada pela probabilidade de você exercer a opção ', ou simplesmente' o que você vai obter 'menos' o que você vai pagar '(Khan, 2013).

Para uma opção de venda europeia (contratos pelo direito, mas não obrigação, de vender algum ativo subjacente a um preço pré-determinado em uma data pré-determinada no futuro) a forma funcional equivalente é:

Equação 9. A fórmula de Black-Scholes para o valor de uma opção de venda C para um stock não pagador de dividendos de preço S

Exemplo: Calcular o preço de uma opção de compra europeia

Para calcular qual deve ser o preço de uma opção de compra europeia, sabemos que precisamos de cinco valores exigidos pela equação 6 acima. São eles: 1. O preço atual da ação (S), 2. O preço de exercício da opção de compra (X), 3. O tempo de vencimento (T – t), 4. A taxa de juros livre de risco (r ) e 5. A volatilidade do estoque, dada pelo desvio padrão dos retornos históricos do log (?).

 Estimando o valor de uma opção de compra para Tesla (TSLA) 
Os primeiros quatro valores que precisamos são facilmente obtidos.
Digamos que estamos interessados em uma opção de compra de ações da Tesla ($ TSLA), com vencimento no dia de seus lucros no terceiro trimestre de 2019, a um preço 20% superior ao que as ações estão negociando atualmente. Olhando para a lista de NASDAQ da Tesla ($ TSLA) no Yahoo Finance hoje (13 de julho de 2019), encontramos um preço de ações de S = $ 245. Multiplicar o preço atual com 1,2 nos dá um preço de exercício 20% maior do que o estoque está sendo negociado atualmente, X = $ 294. Pesquisando no Google, descobrimos que o dia da sua chamada de ganhos no terceiro trimestre é 22 de outubro, o que nos dá um prazo para vencimento / vencimento de 22 de outubro a 13 de julho = 101 dias. Como proxy para um instrumento de taxa de juros livre de risco, usaremos títulos do governo de 10 anos dos EUA ($ USGG10YR), atualmente pagando 2,12%. Então, encontramos S = 245, X = 294, T - t = 101 er = 0,0212. O único valor omisso é uma estimativa da volatilidade da ação (?).

Podemos estimar a volatilidade de qualquer ação observando seus preços históricos ou, ainda mais simples, calculando outros preços de opção para o mesmo estoque em datas de vencimento / vencimento (T) e preços de exercício / strike (X), se sabemos que eles foram definido de acordo com um modelo de Black-Scholes. O valor resultante, ?, é um número entre 0 e 1, representando a volatilidade implícita do mercado para o estoque. Para a Tesla, no momento de escrever este artigo, o valor médio foi de aproximadamente 0,38 para 4 a 5 preços de opções diferentes em torno da mesma data de vencimento / vencimento. Entre na equação 6 acima, descobrimos que a opção de compra na qual estamos interessados deve ser algo em torno de US $ 7.

Volatilidade implícita

Embora seja interessante entender como as opções dos emissores chegam ao preço de suas opções de compra e venda, como investidores, é difícil “discordar” desses preços, por si só, e tão difícil transformar esse conhecimento em teses de investimentos acionáveis.

No entanto, podemos obter muita milhagem da fórmula de Black-Scholes se, em vez disso, tratamos o preço de uma opção (C ou P) como uma quantidade conhecida / variável independente (verificando diferentes datas de vencimento / vencimento T e diferentes exercícios). preços X). Isso porque, se o fizermos, a equação funcional de Black-Scholes se torna uma ferramenta para nos ajudar a entender como o mercado estima a volatilidade de uma ação , também conhecida como volatilidade implícita da opção. Esta é uma informação sobre a qual podemos discordar e negociar.

Se, por exemplo, olharmos para o gráfico do estoque de Tesla nos últimos três meses (figura 2), vemos uma viagem volátil (por falta de uma palavra melhor) de cerca de US $ 280 três meses atrás, para uma baixa de US $ 180. um mês e meio atrás, agora em seu caminho de volta a US $ 245. Isso faz sentido, dada a volatilidade que observamos nos preços de compra antes (US $ 280 – US $ 180 = US $ 100, US $ 100/280 = US $ 0,36, contra US $ 0,38). Não faz sentido, no entanto, se pensarmos que a flutuação nos últimos três meses foi a mera ponta de um iceberg, entrando em um período de maior volatilidade para a Tesla, digamos, devido a um aumento futuro de vendas a descoberto.

Figura 2 Gráfico de 3 meses para $ TSLA

Digamos que discordemos de um emissor de opções sobre a volatilidade implícita do desempenho das ações nos últimos três meses. Achamos que o passeio vai ficar mais agitado. Quantos? Digamos que, em vez de 40%, acreditamos que os próximos três meses serão mais parecidos com 60%. Inserindo-se na fórmula funcional de Black-Scholes juntamente com os mesmos valores para S, X, reT – t, obtemos um preço de quase duas vezes o que o emissor de opções quer, em C (S, t) = $ 14.32. Isso podemos negociar. Poderíamos, por exemplo, comprar opções de compra hoje e esperar que a volatilidade aumente ou o valor da ação aumente, antes de vender com lucro.

Opções americanas

Como as opções americanas podem ser exercidas em qualquer data anterior à expiração (os chamados "instrumentos de cronograma contínuo"), elas são muito mais difíceis de lidar com as opções européias ("instrumentos pontuais"). Primeiramente, uma vez que a política de exercícios otimizados afetará o valor da opção, isso precisa ser levado em conta ao se resolver a equação diferencial parcial de Black-Scholes. Não existem soluções conhecidas de “forma fechada” para opções americanas, de acordo com a equação de Black-Scholes. Existem, no entanto, alguns casos especiais:

  • Para opções de compra americanas sobre ativos subjacentes que não pagam dividendos (ou outros pagamentos), o preço da opção de compra de ações americana é o mesmo que para opções de compra europeias. Isso porque a política de exercício ideal, neste caso, é não exercer a opção.
  • Para opções de compra americanas em ativos que pagam um dividendo conhecido em sua vida subjacente, pode ser ideal para exercer a opção de início. Nesses casos, a opção pode ser optimamente exercida imediatamente antes do estoque ser ex-dividendo, de acordo com uma solução dada em forma fechada pelo chamado método Roll-Geske-Whaley (Roll, 1977; Geske, 1979; 1981; Whaley , 1981):

Primeiro, verifique se é ótimo exercer a opção antecipadamente, investigando se a seguinte desigualdade é satisfeita:

Equação 10

Para S = preço da ação, X = preço de exercício, D? = dividendo pago, t = data atual, t? = data do pagamento do dividendo, T = data de vencimento da opção.

Se a desigualdade não for cumprida , não a otimize primeiro. Se C (?) é a fórmula regular Black-Scholes para opções de compra européias sobre ações que não pagam dividendos (eq x), o valor da opção de compra americana é dado por uma versão da mesma equação onde o preço das ações ( S) é descontado:

Equação 11. O valor de uma opção de compra americana quando a desigualdade (eq.8) não é cumprida

Se a desigualdade for satisfeita , o exercício antecipado é ótimo e o valor da opção de compra americana recebe a seguinte, horrível confusão de uma equação (tentei dividi-la em cada termo para torná-la mais legível):

Equação 12. O valor de uma opção de compra americana quando a desigualdade (eq. 10) é cumprida

Onde como antes S = preço da ação, T = data de vencimento da opção, X = preço de exercício er = taxa de juros livre de risco, ? = volatilidade (desvio padrão do registro dos retornos históricos da ação), e D? é o pagamento de dividendos. Além disso, ? é dado por:

Equação 13.

a?, a? por:

Equação 14. Equação 15

e b?, b? por:

Equação 16 . Equação 17 .

Limitações

Não é preciso dizer que o modelo de Black-Scholes é precisamente esse, um modelo teórico que tenta estimar como um mercado se comporta, dadas as suposições mencionadas acima e as limitações inerentes de nossas próprias estimativas numéricas de taxas de juros livres de risco (r) e volatilidade futura (?). Deve-se destacar aqui que nem todas as suposições (especialmente o modelo original) são empiricamente válidas. Por exemplo, limitações significativas surgem de:

Estes devem ser contabilizados em toda e qualquer estratégia de investimento, por exemplo, protegendo com opções fora do dinheiro, negociando em várias bolsas, protegendo-se com hedge de volatilidade e hedge Gamma, respectivamente.

fundo

Como mencionado brevemente, Fischer Black e Myron Scholes, em 1973, mostraram que a revisão dinâmica de um portfólio de acordo com certas regras elimina o retorno esperado do título subjacente (Black & Scholes, 1973). Seu modelo foi construído sobre obras previamente estabelecidas por Bachelier , Kassouf , Thorp e outros. Robert C. Merton foi o primeiro a publicar um artigo expandindo a compreensão do modelo e que cunhou o termo “modelo de precificação de opções Black-Scholes”. Scholes e Merton foi agraciado com o Prêmio Nobel de 1997 em Ciências Econômicas por sua descoberta do método de se divorciar das opções de ações do risco de seus títulos subjacentes. Como Fischer Black faleceu em 1995, ele não seria elegível para receber o prêmio, mas foi reconhecido como um colaborador pela Academia Nobel.