Equações de Maxwell

Não é um Panda Vermelho Bloqueado Desbloquear Seguir Seguindo 7 de janeiro

Antes de começarmos, esteja ciente de que falar sobre eletromagnetismo de qualquer maneira significativa significa falar sobre cálculo vetorial. Por favor, não se deixe intimidar, mesmo que você não tenha a primeira idéia do significado de qualquer um dos símbolos ou termos. O cálculo vetorial é difícil, mas suas idéias principais são intuitivas e explicarei tudo conforme formos.

Nas unidades do SI, as famosas equações de Maxwell para os campos elétrico e magnético são:

Estas são equações diferenciais (equações que descrevem uma regra para a taxa de mudança de uma função em relação a uma ou mais de suas variáveis de entrada) para o campo elétrico E e o campo magnético B na presença de uma função de carga ? (“rho”) e uma corrente elétrica j . As grandezas ?? (“epsilon nada”) e ?? (“mu nought”) são constantes físicas chamadas permissividade e permeabilidade do vácuo. A velocidade da luz c obedece a importante relação c² = 1 / ????. Quando condições de contorno para os campos são especificadas, essas equações determinam os campos de forma completa e exclusiva.

Geralmente, não se tenta resolver essas equações diretamente para uma determinada configuração de condições de contorno, cargas e correntes. Em vez disso, numerosos truques matemáticos foram inventados para simplificar muitos tipos diferentes de problemas. No entanto, ainda é importante entender a física por trás dessas equações.

Os campos elétricos e magnéticos

Uma carga q com vetor velocidade v e velocidade muito menor que c na presença de um campo elétrico E e um campo magnético B está sujeita à força de Lorentz:

Curiosamente, isso ainda é verdade no caso relativista, quando a força F pretende denotar a taxa de tempo de mudança do momento relativista, em vez do momento clássico. Existem dois termos na força de Lorentz. O primeiro é q E , chamado de força eletrostática. Esta força é causada pelo campo elétrico E , que é produzido por cargas estacionárias. A segunda força é q v ? B , que é chamada de força magnética. O símbolo ? é chamado vetor ou produto cruzado, e denota um vetor perpendicular a v e B e com magnitude | v || B | sin (?) onde ? é o ângulo entre v e B.

A "regra da mão direita" é um mnemônico útil para lembrar as direções dos vetores no produto vetorial. Fonte

Um campo magnético B é produzido por uma corrente e interage com uma carga em movimento para produzir uma força. Uma corrente é uma carga vezes uma velocidade, então q v é um elemento de corrente, e segue-se que as forças magnéticas atuam entre as correntes.

Para simplificar as coisas, vamos fingir que correntes e cargas são entidades separadas que existem independentemente umas das outras. Agora, obviamente, este não é o caso porque uma corrente é, por definição, uma carga em movimento, mas quando começamos a falar sobre cargas em movimento, temos que trazer uma relatividade especial. No entanto, podemos ir muito longe sem a relatividade, como James Maxwell e seus contemporâneos. Acontece que as equações de Maxwell já são relativistas, embora os físicos do século XIX não pudessem estar cientes disso. Uma continuação deste artigo abordará isso se houver interesse suficiente.

Assim, para nossos propósitos, as cargas estacionárias exercem forças sobre outras cargas estacionárias por meio da força elétrica e as correntes produzem forças em cargas móveis por meio da força magnética.

Um exemplo da força de Lorentz pode ser visto no caso do movimento do ciclotron. Suponha que um campo magnético aponte para essa página e um elétron tenha um vetor de velocidade inteiramente no plano dessa página.

Os símbolos x denotam um campo magnético uniforme apontando para a página. O vetor de força, em vermelho, é o produto cruzado de v e B e, portanto, pela regra da mão direita, o vetor de força aponta para o centro de um círculo. Se uma carga em um campo magnético uniforme receber uma velocidade inicial com uma direção perpendicular a B , a carga se moverá em um círculo a uma velocidade constante. Isso é chamado de movimento ciclotron.

Fonte

Um tubo Teltron (foto acima) é um dispositivo que demonstra o movimento do ciclotron. Elétrons livres são produzidos aquecendo um pequeno filamento e dados uma velocidade inicial produzindo um campo elétrico na pequena região ao redor do dispositivo. O campo no tubo produzido pelas duas bobinas é aproximadamente uniforme, então puxa o movimento dos elétrons para um anel. Os elétrons produzem luz quando atingem átomos de um gás de baixa pressão.

Campos de vetores, linhas de campo e fluxo

Os campos elétricos e magnéticos são campos de vetores. Um campo vetorial é uma função que atribui vetores a pontos no espaço, como na figura a seguir que mostra os vetores de campo elétrico de um dipolo elétrico que consiste em uma carga positiva em (+1,0) e uma carga negativa em (-1, 0) Note que, para maior clareza, os vetores mostram apenas a direção e não a magnitude.

Você pode ver que os vetores de campo elétrico apontam para longe de cargas positivas (fontes) e para cargas negativas (pias). Desde que a força sobre uma carga teste positivo q é dada por F = q E, isso corresponde ao fato de que as cargas de sinal oposto atrair e encargos de igual repelir sinal. Nós quase sempre assumimos que as fontes dos campos, sejam cargas ou correntes, não se movem.

Tão importante quanto os vetores do campo vetorial são as linhas de campo. Para o dipolo elétrico, as linhas de campo provavelmente parecem familiares para muitos de vocês:

Para obter uma imagem mais clara do que as linhas de campo nos dizem, vamos escolher apenas algumas delas e mostrá-las junto com os vetores de campo:

Este diagrama mostra algumas propriedades importantes das linhas de campo.

  • Linhas de campo não são apenas curvas no espaço, elas também têm uma direção. Uma linha de campo é originada em uma origem e termina em um coletor. Pode também originar ou terminar no infinito. Eles parecem quebrar as fotos por causa das limitações do software que usei para desenhá-las.
  • As linhas de campo são tangentes aos vetores de campo em todos os pontos.
  • As linhas de campo nunca se cruzam, ou então o vetor no ponto de interseção estaria apontando em duas direções ao mesmo tempo, o que é impossível.
  • Linhas de campo mudam sua direção continuamente.

Vamos agora brevemente mudar nosso foco do eletromagnetismo para a dinâmica dos fluidos. Suponha que a velocidade da água com densidade de área uniforme (kg / m², considerando que estamos considerando um problema bidimensional) ? em torno de uma fonte é dada em cada ponto por uma função vetorial v (r, ?), onde r é o distância radial da fonte e ? é o ângulo entre o vetor de posição de r e a horizontal.

Suponha que a fonte esteja localizada no ponto azul e que o limite S seja um círculo de raio R. Quanta água passa além desse limite por segundo?

A análise dimensional é sempre um ótimo lugar para iniciar um problema como esse. Nos pedem algo com unidades de kg / s e nos é dada uma densidade de área com unidades kg / m² e uma velocidade com unidades m / s. Podemos combiná-los para obter o momentum por unidade de área, que tem unidades de kg / m?s. Se pudermos eliminar as unidades de 1 / m dessa quantidade, acabaremos com algo com as unidades certas. Isso deve nos fazer pensar em integrar a quantidade ? v com relação ao comprimento l ao longo de uma curva C , mas ? v é uma quantidade vetorial e somos solicitados por uma quantidade escalar, então precisamos introduzir um produto pontual em algum lugar. Como a água flui sobre S, podemos naturalmente supor que a curva C deve ser o círculo S e o vetor deve ser o vetor unitário apontando para fora do círculo. Acontece que esta é a abordagem correta, e a resposta para o problema é a quantidade

Isso é chamado de fluxo do campo vetorial v sobre o limite S. O fluxo de um campo vetorial tridimensional através de uma superfície ou um campo vetorial bidimensional através de uma curva pode ser interpretado como nos dizendo quanto esse campo vetorial “flui” ”Sobre a superfície ou curva. Se v é qualquer campo vetorial e S é um limite (superfície ou curva) envolvendo uma região (volume ou área) V, então também temos o teorema de divergência criticamente importante, que apresentamos aqui sem prova:

Assim, o fluxo total sobre o limite do volume é igual à integral de within v dentro do volume, então podemos pensar em ?? v como o fluxo deixando cada ponto dentro de V. A quantidade ?? v é chamada de divergência de v e é o assunto das duas primeiras equações de Maxwell.

Lei de Gauss

Esta é a forma diferencial da lei de Gauss. Vamos primeiro considerar a forma integral. Suponha que S seja uma superfície fechada e que a carga total na região delimitada por S seja Q. Então:

Então, a Lei de Gauss nos diz que o fluxo do campo elétrico através de S é a carga total cercada por S dividida pela permitividade. Uma das grandes características desta lei é que S pode ser qualquer superfície que envolva completamente a distribuição de carga, e o fluxo através da superfície será o mesmo.

A forma diferencial é obtida com o teorema da divergência:

Note que, em geral, ? é uma função da posição. Não consideraremos o caso em que também é uma função do tempo, uma vez que isso exigiria relatividade especial, embora a continuação deste artigo pudesse.

A forma diferencial pode ser pensada como a forma integral que se aplica a esferas infinitamente pequenas envolvendo todos os pontos no espaço.

A Lei de Gauss nos diz algumas coisas úteis:

  • Se ? (x, y, z) é positivo, então o ponto de saída do fluxo (x, y, z) é positivo e se ? (x, y, z) é negativo, então o ponto de saída do fluxo (x, y, z) é negativo, o que equivale a dizer que um fluxo positivo entra no ponto (x, y, z). Isso formaliza nossa reivindicação anterior de que as linhas de campo se originam de cobranças positivas e terminam com cobranças negativas.
  • Se não houver cobrança em uma região do espaço, qualquer linha de campo que entrar nessa região deverá sair dessa região.

Vamos derivar a Lei de Coulomb como uma demonstração do Teorema de Gauss. Suponha que uma carga pontual Q esteja localizada na origem e uma carga de teste q esteja localizada a uma distância r da origem. Como F = Q E, este problema pode ser resolvido encontrando E devido a Q. Deixe a superfície gaussiana S ser uma esfera de raio r centrado na origem. Vamos começar escrevendo a Lei de Gauss:

O vetor unitário está na direção radial, e o elemento de área diferencial dS para a superfície de uma esfera de raio r é r²sin (?) d?d? onde ? e ? são como no diagrama:

Nota: Alguns autores mudam ? e ?. Fonte

Assim sendo:

Por simetria, podemos ver que o campo elétrico depende apenas da distância da origem para que possamos puxá-lo e sair da integral:

E deve ser radial porque as forças elétricas atuam na linha entre duas cargas:

Então nós obtemos a Lei de Coulomb com F = q E :

Lei de Gauss para magnetismo

Esta lei nos diz que todos os campos magnéticos são divergentes. Usando as ideias que desenvolvemos na última seção, isso significa que:

  • Existe precisamente zero fluxo líquido entrando ou saindo de qualquer região na presença de um campo magnético. Qualquer linha de campo que entra em qualquer região deve sair dessa região.
  • Todas as linhas de campo formam loops fechados.
  • Não há fontes ou sumidouros para linhas de campo magnético. Equivalentemente, podemos dizer que as cargas magnéticas, ou monopólos, não existem na eletrodinâmica clássica (ainda não se sabe se existem na eletrodinâmica quântica).

O uso mais importante da Lei de Gauss para o magnetismo é na definição do potencial vetorial. Isso nos levaria além do escopo deste artigo, então vamos apenas seguir em frente.

Interlúdio: campos conservadores

Sabemos da física básica que o trabalho feito em uma partícula quando aquela partícula é feita para mover uma distância byx por uma força constante F é W = F?x. Se em vez disso F varia continuamente e a partícula é feita para se mover em uma linha reta de a para b então o trabalho é

E se, em vez disso, a partícula se mover ao longo de uma curva de forma arbitrária em um campo de força tridimensional? Suponha que F seja um campo de força e que a partícula se mova ao longo de uma curva C , que pode ou não formar um laço fechado. Em qualquer ponto ao longo da curva, podemos dizer que F é um vetor com três componentes: um ao longo de ê?, perpendicular à curva, um ao longo de ê?, tangente à curva e um componente ao longo de ê??ê?, perpendicular a ê? e ê? . Somente o componente de F na direção do caminho funciona, então pegamos seu produto de ponto com ê? e integramos com respeito a d l , o elemento de comprimento diferencial do caminho:

Existe uma classe especial de campos de força chamados campos conservativos, que podem ser escritos como o gradiente negativo de uma função de energia potencial: F = -?U. Se este é o caso, então o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha nos diz que:

Isso significa que, para um campo de força conservador, o trabalho feito por uma partícula à medida que ela se move do ponto A para o ponto B depende apenas desses pontos e não do caminho escolhido. De fato, isso geralmente é dado como a definição de um campo de força conservador, mas a definição de um campo conservador como um campo vetorial decorrente do gradiente de um potencial é exatamente equivalente: um campo de força F é conservador se e somente se pudermos. diga que F = -?U.

Também é claro a partir desta equação que se a partícula se move ao longo de qualquer curva fechada C , então o trabalho feito é 0. Nós escrevemos isto como:

O círculo no sinal integral indica que o caminho da integração é um loop fechado.

Além do teorema da divergência, o outro teorema que você deve saber para chegar a algum lugar com o aprendizado do eletromagnetismo é o Teorema de Stokes, que apresentamos sem provas. Para qualquer superfície S para a qual C é o limite:

A partir disso, podemos ver ao mesmo tempo outra definição equivalente de um campo conservador: uma vez que se F é conservativo, então é o gradiente de uma função e como ?? (?A) = 0 para qualquer função A, vemos que ?? F = 0 se e somente se F é conservativo. Podemos pensar em ?? F como a tendência de um campo para causar movimento rotacional em um ponto. Essa quantidade é conhecida como onda de F e é o assunto das duas próximas Equações de Maxwell.

A equação de Maxwell-Faraday

Esta é uma das primeiras das duas equações que conectam E e B. Nos diz que E é um campo conservador na ausência de um campo magnético ou se o campo magnético é constante no tempo. Para interpretar isso, vamos começar com o que sabemos sobre energia potencial e cinética.

Os sistemas físicos evoluirão ao longo do tempo de maneira a permitir que minimizem sua energia potencial armazenada. Eles fazem isso transformando energia potencial em energia cinética executando trabalho. Em um campo de força conservativo, uma partícula não funciona movendo-se em um circuito fechado, e assim não há como um campo de força conservativo fazer com que uma partícula se mova em um loop, assumindo que a partícula começa do repouso. As órbitas fechadas são possíveis em alguns casos, se a partícula começar com velocidade perpendicular às linhas de força, como no caso do movimento planetário, caso em que a órbita ocorre ao longo de um caminho de potencial constante e, portanto, tem energia total constante.

Suponha que queremos que uma partícula carregada, inicialmente em repouso, se mova em um loop fechado. Isso significa que devemos tornar o campo elétrico não-conservativo, então devemos dar a ele uma ondulação diferente de zero. Nós nos voltamos para a análise dimensional para guiar nossa intuição. Como E tem unidades de N / C, ?? E possui unidades de N / C?m. Sabemos que B tem unidades de Teslas e 1T = N?s / C?m. Portanto, has E tem unidades de T / s. Como ?? E é um campo vetorial, isso significa que devemos expor uma partícula carregada a um campo vetorial com unidades de T / s, se quisermos que ela se mova em um loop fechado.

Como a quantidade -? B / ?t é um campo vetorial com unidades de T / s, é possível que essa seja a quantidade que estamos procurando, e Maxwell determinou que é realmente o caso que ?? E = -? B / byt, interpretando os dados experimentais de Faraday.

Podemos usar essa equação para derivar a Lei de Indução de Faraday, que afirma que:

A quantidade ? (roteiro E) é chamada de força eletromotriz em um loop de fio e tem unidades de volts, e ? é o fluxo do campo magnético através da área delimitada pelo loop. O EMF é o trabalho feito por uma unidade de carga, uma vez que se move uma vez ao redor do loop, portanto:

Então, de acordo com o Teorema de Stokes:

Então pela equação de Maxwell-Faraday:

A derivada parcial em relação ao tempo é puxada para fora da integral e transformada em uma derivada ordinária porque a integral não depende da posição. Por definição, esta integral é o fluxo de B através da área delimitada pelo laço de arame C, de modo que isto completa a prova de que

Isso explica por que um campo magnético variável perto de um circuito induz uma corrente naquele circuito.

Lei Circuncidual de Ampere

E finalmente chegamos à Lei de Ampere. A Lei de Ampere nos permite concluir o processo de construção de uma teoria unificada completa de eletromagnetismo e ondas eletromagnéticas.

Vamos começar com a forma original desta lei, ?? B = ?? j, que se mantém quando não há dependência de tempo. Isso nos diz que a circulação do campo magnético em torno de um ponto é proporcional à corrente naquele ponto. A forma integral desta equação é:

Isso diz que a integral de B em torno de um loop fechado é proporcional à corrente total que penetra na área delimitada pelo loop. Como demonstração, podemos usar isso para encontrar o campo magnético ao redor de um fio. Neste caso, o vetor tangente está na direção do ângulo polar e, portanto, se colocarmos o fio no centro de um laço imaginário de raio r, então dl = rd?. Então:

Isso formaliza a regra da mão direita para um campo magnético ao redor de um fio:

Fonte

No caso independente do tempo, E é sempre conservativo porque sua curvatura é zero. Mas acabamos de ver que mesmo no caso independente do tempo, B é apenas conservador em uma região que não contém correntes, e os problemas mais interessantes envolvem regiões próximas da atual. Além disso, a força magnética F = q v ? B nunca é conservativa porque depende da velocidade. Portanto, não podemos tratar B como um campo conservador em geral, e os casos raros em que podemos não são importantes para nós agora.

Agora vamos falar sobre o segundo termo no lado direito da Lei de Ampere, chamado de corrente de deslocamento. O nome vem de outro campo, chamado de deslocamento elétrico D = ?? E , que é útil em problemas envolvendo campos em materiais em vez de espaço vazio. A Lei de Ampere como originalmente escrita não incluiu este termo, e foi Maxwell quem descobriu que era necessário. Antes disso, essa incompletude na Lei de Ampere causou alguns problemas. Mais significativamente, isso significaria que as ondas eletromagnéticas não poderiam existir.

Na física, uma equação de onda é uma equação diferencial com a forma:

O operador ² é chamado de laplaciano e é dado por:

Ek é a velocidade com que a onda se propaga pelo espaço. Se a função f é um campo vetorial, então cada componente do vetor satisfaz a equação. Vamos tentar obter equações de onda no espaço livre (sem cargas ou correntes), fingindo ignorar a corrente de deslocamento. As equações de Maxwell seriam então:

Vamos começar com a identidade do cálculo vetorial ?? (?? A ) = ? (?? A ) -?² A onde ?² A significa que o operador Laplaciano é aplicado a cada função componente de A. Como ?? E = ?? B = 0, isto significa que ?? (?? E ) = – E² E para o campo elétrico e ?? (?? B ) = –B para o campo magnético. Se ?? B = 0 no espaço livre, observe que não podemos obter as equações de onda corretas. Para E nós temos:

E para B nós temos:

Para corrigir isso, temos que adicionar a corrente de deslocamento. É claro que não podemos simplesmente ligar a corrente de deslocamento porque ela nos dará as equações que queremos, precisamos justificá-la. Para fazer isso, vamos antecipar que o problema está na equação ?? B = ?? j . Vamos tirar a divergência de ambos os lados: ?? (?? B ) = ???? j . Como a divergência de uma onda é sempre zero, isso significa que ?? j = 0 sempre. Mas isso não é o caso. Correntes elétricas obedecem a equação de continuidade:

Essa equação diz que a taxa de variação da carga em uma região é a negativa da corrente líquida que flui para fora da região. Se ?? j é positivo para que haja uma saída líquida de carga, a carga na região deve diminuir e vice-versa, se for negativa.

Isso significa que devemos ter:

Isto significa que ? é a divergência de algum campo vetorial. Felizmente, a Lei de Gauss nos diz que existe um campo vetorial cuja divergência é igual a ?, sendo ?? E , o deslocamento. Se ligarmos ???? E em ? e cancelarmos a divergência de ambos os lados, obtemos a equação correta:

Isso nos dá as equações corretas de Maxwell para o espaço livre:

Agora podemos obter as equações de onda corretas:

Para E. Então para B :

É por isso que essas equações são nomeadas por Maxwell, embora ele não tenha descoberto as leis que descrevem. Foi sua engenhosa idéia introduzir a corrente de deslocamento na Lei de Ampere, que permitiu a unificação final da teoria do eletromagnetismo clássico.

Conclusão

Se você conseguiu chegar ao final disso, então você deve se orgulhar de si mesmo. Isso é muito difícil e nós apenas arranhamos a superfície. Se houver interesse suficiente, o próximo artigo será expandido em alguns pontos sobre a relatividade a que aludi neste artigo. Deixe-me saber nos comentários se você acha que eu deveria escrever isso. Eu terminarei este artigo com um pequeno teaser sobre o que isso implicaria.

Stinger: Covariância

O princípio da covariância diz que as leis da física devem parecer as mesmas de acordo com todos os observadores no universo, no sentido de que a forma das equações que descrevem essas leis deve ser a mesma em todos os referenciais.

Suponha que as origens de dois sistemas de coordenadas S e S 'estejam em movimento relativo com velocidade constante V ao longo do eixo x.

Fonte.

As coordenadas preparadas estão relacionadas às coordenadas não iniciadas pela Transformada Galileana:

Vamos considerar apenas a equação de onda unidimensional para o componente x de E. O princípio da covariância nos diz que, se alguns no quadro S observam uma onda eletromagnética e determinam que a equação de onda é

então o observador em S 'medindo essa mesma onda deve observar a equação em termos de suas coordenadas como

Podemos fazer isso fazendo uma transformação galileu nas coordenadas? Usando as transformadas e a regra da cadeia, as derivadas parciais são transformadas como:

Então a equação de onda não preparada se transforma em:

Isso significa que há um problema e é a equação de onda ou a transformação. Não pode ser a equação de onda porque as equações de Maxwell são verificadas por experimento, então o problema é com a transformação. Para resolver este problema, devemos deixar de lado algumas das nossas ideias mais fundamentais sobre o mundo e introduzir a relatividade especial.