O que é uma matriz positiva definida?

e por que isso importa?

Aerin Kim ? Blocked Unblock Seguir Seguindo 4 de janeiro

Uma matriz positiva definida é uma matriz simétrica cujos autovalores são todos positivos. Eu vejo, mas por que nós definimos tal coisa? É útil de alguma forma? Por que os sinais dos autovalores são importantes?

Aqui está uma definição da Wikipedia sobre PDM:

Para as pessoas que não conhecem a definição de Hermitian, está na parte inferior desta página.

Existe um vetor z .

Este z terá uma certa direção.

Quando multiplicamos a matriz M por z , z não aponta mais na mesma direção. A direção de z é transformada por M.

Se M é uma matriz positiva definida, a nova direção sempre apontará na mesma direção “geral” (aqui “mesma geral” significa menos que mudança de ângulo ? / 2). Não inverterá (= mudança de ângulo superior a 90 graus) a direção original.

Por quê? Porque zT Mz é o produto interno de z e Mz. (E cosseno é positivo até ? / 2).

Se o ângulo é menor ou igual a ? / 2 , é "semi " definido.

Está bem. O que isso tem a ver com valores eigen?

 Se Mz = ?z (a definição do autovalor), 
então z.TMz = z.T?z = ??z²? .
 Como z.TMz> 0 e ³z²> 0, os autovalores ( ? ) devem ser maiores que 0! 
 ? Uma Matriz Definida Positiva deve ter autovalores positivos. 
 (" zT " é z transpose. Médio não me deixa escrever Transpose superscript no meu blog ...) 

Por que queremos PDM

Não seria bom em um sentido abstrato … se você pudesse multiplicar algumas matrizes várias vezes e elas não mudariam o sinal dos vetores? Se você multiplicar números positivos para outros números positivos, isso não alterará seu sinal. Eu acho que é uma propriedade legal para uma matriz ter.

Além disso, se o Hessian de uma função for PSD, a função será convexa. (No cálculo, a derivada deve ser zero no máximo ou mínimo da função. Para saber qual, nós checamos o sinal da segunda derivada. Em múltiplas dimensões, não temos mais apenas um número para checar, temos uma matriz – Hessiana. É um mínimo se o Hessiano for positivo definido e um máximo se for definido negativo.)

Se você conhece outras razões, por favor, comente abaixo!

Aplicações ?

Além de serem matematicamente limpas, as matrizes Positive Definite também têm aplicações práticas.

Se você está negociando moeda estrangeira, você pode simular movimentos de moeda correlacionados para várias moedas através da decomposição de Cholesky !

É um truque muito antigo, mas ainda é um ouro.

Um breve resumo da decomposição de Cholesky : Toda matriz simétrica positiva definida M pode ser decomposta em um produto de uma única matriz triangular inferior L e sua transposta LT .

Os métodos Monte-Carlo são ideais para o preço das opções, em que o pagamento depende de uma cesta de ativos subjacentes. Para uma cesta de n ativos, a matriz de correlação ? é simétrica e positiva definida , portanto, pode ser fatorada como ? = L * LT, onde L é uma matriz triangular inferior. Em seguida, os movimentos de moeda correlacionados podem ser calculados como L * movimento de moeda aleatória (basicamente números aleatórios) .

A decomposição de Cholesky também é usada em filtros de Kalman e até mesmo em inversão de matriz.