QML – Compreender Qubits

Somnath Basu Roy Chowdhury Bloqueado Desbloquear Seguir Seguindo 6 de janeiro

Este blog é parte da série que visa entender o Quantum Machine Learning. Nesta primeira parte, pretendemos entender o Qubits.

Qubits são a unidade computacional fundamental na computação quântica. Qubit armazenar informações binárias (0 ou 1), análogo a um bit em um computador clássico. No entanto, os qubits podem armazenar 0 e 1 juntos usando superposição.

Estranho à direita? Não se preocupe, você não se sentirá perdido até o final deste blog. Os computadores quânticos aproveitam esse feito para codificar uma quantidade exponencial de informações, levando a soluções mais escalonáveis em comparação aos computadores clássicos. Vamos mergulhar!

Notação

Vamos passar por algumas anotações matemáticas básicas antes de mergulhar diretamente na física. Vetores na mecânica quântica são geralmente representados usando o Dirac bra-ket notação, como | um?.

Nesta notação, o ket | ?? é análogo a um vetor coluna, e o sutiã ?? | é análogo ao transplante conjugado complexo do ket.

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A notação bra-ket ?a | b? denota o produto em ponto do sutiã ?a | com o ket | b?. A expressão completa é dada abaixo

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O operador bra-ket é linear em relação ao seu segundo argumento. Além disso, da equação acima, podemos deduzir que ?a | a? = 1

fundo

Esta seção é opcional e, se você conhecer os fundamentos da física quântica, poderá passar para a próxima. Aqui, discutirei algumas noções da física quântica que ajudarão a desenvolver uma compreensão completa dos qubits .

A função de onda (| ??) é uma propriedade intrínseca de um sistema quântico isolado e define seu estado. As funções de onda não podem ser medidas diretamente, mas podemos aplicar operadores nela para obter algumas medições físicas (como posição, rotação, momento angular, etc.).

As funções de onda podem ser somadas e multiplicadas por números complexos para formar novas funções de onda e formar um espaço de Hilbert . Uma função de onda pode ser dividida como a soma de sua base ortonormal, como mostrado

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No mundo quântico, a medição é definida como a aplicação de um operador (simplesmente uma multiplicação de matrizes) na função de onda. O operador, no entanto, muda o estado original do sistema quântico, de modo que obteremos um valor diferente se o medirmos novamente.

Imagine-se determinando a posição de um elétron, o elétron atingiu uma superfície ou é atingido por um fóton, sendo que ambos modificam seu momento, portanto, sua função de onda original. Este é um dos postulados fundamentais da mecânica quântica.

Sobreposição

De volta aos qubits novamente. Agora vamos usar todas as matemáticas que aprendemos ao descrever o modelo do qubit. Para ter alguma intuição física, digamos que o qubit é um elétron e estamos interessados apenas em seu spin . Por simplicidade, consideramos que a função de onda do qubit contém apenas informações sobre seu spin.

O spin é uma combinação linear dos estados possíveis, spin-up, que é denotado como | 0? e rodar como | 1? | ?? do qubit é dado como

Aqui | 0? e | 1?, são duas bases ortonormais (em um espaço 2D complexo) que são codificadas como:

É importante lembrar que | 0? e | São ortonormais em um espaço de Hilbert e não em nosso espaço euclidiano regular.

Aqui, vemos a fruição de nossa ideia inicial de que os qubits podem armazenar vários estados simultaneamente . Você talvez achando que tudo isso é matemático, qual é o significado físico disso?

Quando tentamos medir o giro na direção vertical (cima / baixo), se a medição é | 0? faz com que a função de onda | coll colapse para | 0? e vice-versa. Nós abordamos isso na seção anterior, de como as medições afetam o estado de um sistema. Isto pode parecer estranho, dada a nossa noção clássica, mas isto foi corroborado por experiências e é assim que a natureza funciona.

O experimento de pensamento do gato de Schrodinger ( fonte )

Voltando a medir o giro, a probabilidade com que a função de onda colapsa a um dos estados depende de sua amplitude. Considere um qubit no seguinte estado

A probabilidade de um estado é dada pelo quadrado de sua magnitude de amplitude. Então, neste caso, há uma chance de 50:50 de acabar em um dos estados. Como probabilidades sempre somam 1, o seguinte é verdadeiro

Agora que obtivemos uma compreensão básica da superposição de estados em um qubit. Vamos tentar relacionar como isso se desenrola em nosso espaço físico e projetar o modelo qubit no Espaço Euclidiano.

Esfera de Bloch

A Esfera de Bloch é uma representação geométrica de um qubit no espaço euclidiano como pontos na superfície de uma esfera unitária . Essa representação é muito útil, pois ajuda a visualizar operações em qubits na superfície da esfera. Parece algo parecido com isto

Esta seção vamos prosseguir devagar, já que a esfera de Bloch é um conceito muito importante e confuso ao mesmo tempo. Para começar, vamos representar o modelo de superposição do qubit na coordenada polar sistema. Como as amplitudes são números complexos, a função de onda pode ser escrita como

Vemos que existem quatro parâmetros livres na equação acima. Multiplicar a equação acima com uma fase arbitrária não altera nenhum fator mensurável. Isso pode ser mostrado como (? é um vetor complexo arbitrário aqui)

Portanto, mudamos a fase da função de onda pelo negativo da fase de spin up | 0? para obter este

Nós vemos que há três parâmetros livres na equação agora. Isso é ainda mais reduzido para dois parâmetros usando a restrição de normalização (?² + ?² = 1) introduzida na seção anterior (as probabilidades somam 1).

Usando esta restrição, o qubit pode ser representado em uma coordenada polar esférica. As coordenadas cartesianas correspondentes são

onde r = 1. Substituindo estes na equação original, obtemos

Comparar essa equação derivada com a representada na esfera ainda não é a mesma. Como ? na equação pode variar entre 0 e ? / 2, enquanto na esfera varia entre 0 ????. Portanto, substituindo ? pelo seu meio ângulo ? / 2 obtemos o seguinte

Agora, isso pode representar todos os pontos onde 0 ? ? ? ?, 0 ? ? ? 2?

Representação da esfera de Bloch

Nós concluímos derivando a representação da esfera de Bloch de um qubit. Ainda há talvez algumas perguntas incomodando você. Por exemplo, começamos definindo | 0? e | 1?, como bases ortogonais, mas na esfera de Bloch, elas estão na mesma linha.

Lembre-se que | 0? e | 1 são ortonormais apenas no espaço de Hilbert e não têm nada a ver com o espaço euclidiano 3D. O que o espaço Bloch realmente representa é a direção no espaço 3D em que o giro é máximo. Isso também foi verificado experimentalmente.

Próximos passos

Agora temos uma perspectiva clara sobre o funcionamento de um qubit. Os próximos passos seriam aprender sobre operações básicas neles e como os sistemas que envolvem vários qubits funcionam.