Teoria dos Conjuntos – História e Visão Geral

Parte I – O Que É Teoria Definida E Por Que É Relevante Hoje?

Jesus Najera Blocked Desbloquear Seguir Seguindo 12 de janeiro

O conceito de infinito está ideologicamente longe da terminologia matemática comum – nenhum outro tópico se estende para fora do círculo da matemática de uma forma que é traduzida de uma ferramenta prática e analítica para um fenômeno de renome mítico. Esfregando os ombros com tópicos culturais como religião e filosofia, a noção de infinito tem uma aura peculiar de divindade.

Era uma vez um dado fundamental, em todas as disciplinas acadêmicas, que existia um único infinito.

Então, em 1874, um matemático relativamente obscuro desencadeou um consórcio de observações inovadoras e questões revolucionárias visando essa crença mundana e profundamente arraigada. Um Georg Cantor, em sua agora lendária publicação Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais provou que o conjunto de números reais é “mais numeroso” do que o conjunto de números algébricos reais. Isto mostrou, pela primeira vez, que existem infinitos conjuntos de tamanhos diferentes (não se preocupe – nós revisaremos seu artigo em detalhes para esclarecimentos).

Um conjunto é muitos que permite a si mesmo ser como um só – Georg Cantor

Entre os anos 1874 e 1897, Cantor publicou ferozmente publicação após publicação – expandindo sua teoria de conjuntos abstratos em uma disciplina florescente. No entanto, ele foi recebido com resistência e críticas contínuas; de fato, muitos disciplinadores acreditavam que suas teorias invadiam o domínio dos filósofos e violavam os princípios da religião.

Uma vez que os pedidos de análise começaram a ser encontrados, no entanto, as atitudes mudaram e suas idéias e resultados foram ganhando aceitação. Nos anos 1900, suas observações, teorias e publicações culminaram no reconhecimento da teoria dos conjuntos modernos como um novo ramo totalmente distinto da matemática:

Teoria de Conjuntos é a teoria matemática de coleções bem determinadas, chamadas conjuntos, de objetos distintos que são chamados de membros ou elementos do conjunto.

Quantos números existem entre 0 e 1?

Em quatro páginas e meia sucintas, a publicação original da Cantor define a fasquia como uma demonstração de brilho compacto. É dividido em duas provas diferentes que juntas concluem no reconhecimento de pelo menos dois tipos únicos de infinito.

A primeira parte da teoria inspeciona o conjunto de números algébricos reais e estabelece que é um conjunto infinito contável . Não se perca aqui, “contável” não significa necessariamente contar estritamente por números inteiros; no contexto da teoria dos conjuntos, contagem significa que um conjunto, mesmo um dos elementos infinitos, pode ser descrito com uma sequência repetível, como uma função ordenada e polinomial . O Cantor nomeou essa propriedade, de uma coleção infinita de números que podem corresponder um a um com uma sequência, como tendo correspondência um-para-um.

Em resumo, a coleção, ou conjunto, de todos os números algébricos reais pode ser derivada usando alguma seqüência teórica de polinômios com graus e coeficientes variados; portanto, o conjunto de todos os números algébricos reais é um conjunto infinito contável .

A segunda parte da tese de Cantor analisa o papel dos números reais e complexos , também conhecidos como números transcendentais . Os números transcendentais, sendo os melhores exemplos pi & e, têm uma propriedade peculiar onde é matematicamente impossível derivá-los usando uma função polinomial – eles não são algébricos. Não importa as alturas, número de peças, graus ou coeficientes, nenhuma sequência será sempre contar pi em sua coleção de um contável, conjunto infinito.

Cantor então afirma que em qualquer intervalo fechado de números reais [ a , b ], existe pelo menos um número transcendental que nunca será contado em um conjunto de infinito contável. Como existe um desses números, presume-se que existe um número infinito de números transcendentais entre a família dos números reais.

Portanto, provando, pela primeira vez, a distinção muito clara entre um conjunto contínuo de números incontáveis e uma coleção de números contáveis e sequenciáveis, como todos os números algébricos reais.

Em direção a notação e operações

A primeira publicação de Cantor parou com essa impressionante confirmação de pelo menos dois tipos diferentes de infinito. A partir desta publicação de origem, uma enxurrada de adendos apareceu, lenta mas firmemente abrindo o caminho para a teoria dos conjuntos modernos.

Uma observação interessante que vale a pena notar aqui é que a maioria das pessoas que usam a teoria dos conjuntos na prática valorizam não tanto um teorema em particular, mas mais a linguagem generalizada que estabelece . Por causa de sua natureza abstrata, a influência da teoria dos conjuntos existe nos bastidores de muitos outros ramos da matemática. Na análise, que requer cálculo diferencial e integral, uma compreensão dos limites e da continuidade da função é fundamentalmente fundamentada na teoria dos conjuntos. Na álgebra booleana , as operações lógicas de “e”, “ou” e “não” correspondem às operações da teoria dos conjuntos de intersecção, união e diferença. E por último, mas não menos importante, a teoria dos conjuntos fornece a base da topologia , o estudo das propriedades geométricas e relações espaciais

Agora equipado com uma compreensão básica da história dos conjuntos e uma visualização rápida na profundidade de seu impacto, é hora de nos familiarizarmos com a notação básica da teoria dos conjuntos. No próximo artigo, abordaremos os símbolos comuns, as operações e as várias configurações dos diagramas de Venn.