Teoria dos Conjuntos – Notação Básica

Parte II – Um Breve Olhar para Operações, Notação e Diagramas de Venn

Jesus Najera Blocked Desbloquear Seguir Seguindo 12 de janeiro

Como afirmado no artigo anterior , um dos principais benefícios da teoria dos conjuntos de aprendizagem não provém de qualquer teoria particular, mas sim da linguagem estabelecida. É por isso que a maior parte deste artigo de acompanhamento abrange os conceitos básicos de notação de conjunto de conjuntos, operações e representações visuais extensivamente. Vamos começar introduzindo os dois símbolos mais básicos para anotar um conjunto e seus elementos correspondentes. A tabela abaixo contém um conjunto de exemplos, A , com três elementos:

A primeira linha mostra o conjunto A com três elementos distintos ( A = {1,2,3} ); a segunda linha demonstra a maneira correta de denotar que um único determinado elemento, 1, pertence ao conjunto A. Muito direto até agora – mas a teoria dos conjuntos fica substancialmente mais interessante quando lançamos um segundo conjunto e percorremos as operações comuns.

Para a tabela abaixo, vamos introduzir dois conjuntos secundários B e C que contêm os seguintes elementos respectivamente: B = {3, A, B, C, D, E} , C = {1,2} . Mesmo que tenhamos introduzido um total de três conjuntos (A, B e C), as operações de exemplo abaixo são responsáveis por apenas dois conjuntos de cada vez, portanto preste muita atenção aos conjuntos anotados na coluna mais à esquerda. . A tabela a seguir contém cinco dos operandos mais comuns:

E lá vamos nós, as cinco operações mais comuns na teoria dos conjuntos; Eles também são bastante populares em domínios fora da matemática pura. De fato, é muito provável que você tenha visto ou lidado com esses tipos de operações no passado, sem a terminologia exata. Por exemplo, peça a qualquer aluno de nível de ensino que descreva um diagrama de Venn de dois grupos em interseção e eles intuitivamente chegarão ao resultado certo.

Dê uma segunda olhada na última linha, complemento relativo – não é esse texto peculiar? Relativo ao que exatamente? Se o complemento relativo de A – B é definido como A e não como B, então como denotamos tudo o que não é B?

O conjunto universal e o conjunto vazio

Como se vê, se quisermos chegar a uma resposta significativa, primeiro temos que fornecer ao universo do nosso problema de configuração algum contexto. Muitas vezes explicitamente declarado no início de um problema, quando os elementos admissíveis de um conjunto são restritos a alguma classe fixa de objetos, existe um conjunto universal que é o grand set que contém todos os elementos para esse problema em particular. Por exemplo, se quisermos trabalhar com conjuntos de letras estritamente inglesas, nosso conjunto universal U consiste nas 26 letras do alfabeto.

Para qualquer subconjunto A de U , o complemento de A (simbolizado por A ? ou UA ) é definido como o conjunto de todos os elementos no universo U que não estão em A. Referindo-se à questão apresentada acima, o complemento de B é tudo dentro do conjunto universal que não é B , incluindo A.

Antes de prosseguirmos, há mais um conjunto conceitual que é crucial para um entendimento básico: o conjunto nulo ou vazio . Tome nota que a gramática de escolha aqui é deliberada. É uma viagem, mas há apenas um único conjunto vazio, portanto é “ o conjunto vazio”, nunca “um conjunto vazio”. Embora a equivalência esteja além do escopo desta peça, a teoria básica aqui é que dois conjuntos são iguais se tem os mesmos elementos; portanto, pode haver apenas um conjunto sem elementos. Portanto, há apenas um conjunto vazio.

Diagramas de Venn e Além

Diagramas de Venn, inventados oficialmente em 1880 por um John Venn, são exatamente o que você está imaginando, embora a definição acadêmica seja algo assim:

Um diagrama de Venn é um diagrama esquemático que mostra todas as possíveis relações lógicas entre diferentes conjuntos matemáticos.

Abaixo está um diagrama dos seis diagramas mais comuns de Venn, quase todos exibindo operandos que cobrimos recentemente:

Começando com a notação básica para um conjunto e seus elementos, nós cobrimos os operandos básicos para produzir o guia visual acima. Exceto pelo canto inferior esquerdo, Diferença Simétrica , todas as outras operações foram cobertas. Para não deixar lacunas no conhecimento, a diferença simétrica, também conhecida como união disjuntiva, é simplesmente o conjunto de elementos que estão em um dos conjuntos e não em sua interseção.

Vamos encerrar isso introduzindo o conceito de cardinalidade. Denominado por um símbolo de valor absoluto, a cardinalidade de um conjunto é simplesmente a quantidade de elementos exclusivos contidos em um conjunto especificado. No exemplo acima, a cardinalidade de nossos três conjuntos é: | A | = 3, | B | = 6, & | C | = 2. Antes de passar para a próxima parte, alguma coisa para pensar – qual é a relação entre a cardinalidade e o número de subconjuntos possíveis?