Teoria Lógica – Notação Básica

Parte II – Um Breve Olhar para Conexões, Implicações e Quantificadores

Jesus Najera Blocked Desbloquear Seguir Seguindo 16 de dezembro de 2018

A origem da teoria lógica começa no conceito de um argumento . A maioria dos livros didáticos lógicos contém uma abertura, uma definição central para um argumento – um que provavelmente se parece muito com o seguinte:

Um argumento contém uma ou mais declarações especiais, chamadas premissas , oferecidas como uma razão para acreditar que uma declaração adicional, chamada conclusão, é verdadeira.

Premissas são os átomos da teoria da lógica: tudo é construído a partir deles. Uma premissa é uma declaração declarativa que deve ser rigorosamente avaliada apenas como verdadeira ou falsa. Uma única premissa é referida como uma premissa primitivahá 50 estados nos EUA (o que é verdade). Conectar múltiplas premissas juntas formam uma premissa compostahá 50 estados nos EUA e nevou em Miami hoje (o que é falso). Como se conectam múltiplas declarações? Como você viu no exemplo anterior, com operadores com os quais você já está familiarizado, mas que exigem seu próprio idioma e sintaxe.

Conectivos

Semelhante a outros ramos de matemática, as instalações têm seu próprio conjunto de operadores fundamentais (adição, subtração, etc …). Na teoria lógica, cinco conectores lógicos básicos, coletivamente conhecidos como conectivos , preenchem esse papel. Eles estão resumidos na tabela abaixo, supondo que as letras P & Q representem duas premissas primitivas:

Se você foi exposto a programação em qualquer nível, é altamente provável que a tabela acima pareça pelo menos vagamente familiar. Isso ocorre porque os conectivos estão no cerne da sintaxe da linguagem comum e quase sempre têm algum caractere especial designado para cada conectivo (&& = e, | = ou, etc…).

Qual dos cinco conectivos é usado como um conector lógico entre duas premissas determina o valor de verdade geral da declaração composta com base nos valores de verdade das premissas sendo modificadas. Um princípio importante aqui que pode parecer contra-intuitivo em primeiro lugar vale a pena extrair: ao analisar instruções compostas não é necessário saber o que partes P & Q realmente dizer apenas se essas peças são verdadeiras ou falsas.

Implicação

Dos cinco conectivos, um é imediatamente digno de uma inspeção adicional – a implicação, também conhecida como declarações if-then. A implicação é um conectivo com a forma padrão de P ? Q, onde P é conhecido como a hipótese (ou antecedente), & Q é conhecido como a conclusão (ou conseqüente).

Embora a implicação tenha uma forma padrão definida acima, existem outros três tipos comuns de condicionais que valem a pena ser revistos. Os seguintes quatro condicionais são simples, mas muito comuns e poderosas, declarações compostas feitas pela combinação de condicionais com as conectividades principais introduzidas:

Uma condicional é, em si mesma, uma premissa composta, ou seja, ela é rigorosamente avaliada como verdadeira ou falsa. Para qualquer implicação, assim como para qualquer outro conectivo, o valor de verdade da premissa composta é determinado pelos valores de verdade de suas duas premissas independentes. Correspondendo com as definições apresentadas acima, por exemplo, uma implicação é verdadeira quando a hipótese é falsa ou quando a conclusão é verdadeira; o que deixa apenas um caminho para uma implicação ser falsa: quando a hipótese é verdadeira e a conclusão é falsa.

Se isso parecia muito rastrear mentalmente, como aconteceu comigo, então respire fácil e descanse para assegurar que ferramentas poderosas estão no futuro próximo, o que torna a análise de condicionais complexos tão simples quanto seguir um projeto. A principal ferramenta que vamos usar é uma ferramenta lógica-101 bacana pelo nome de tabelas de verdade . Antes de entrarmos nas tabelas verdade, no entanto, vamos fazer um rápido desvio para preencher uma última lacuna em nosso conhecimento da notação da teoria lógica básica. Inspecione um cenário peculiar – a seguinte afirmação é uma premissa?

x é maior que dez

Quantificadores

Sob nossa estrita definição introduzida no parágrafo inicial, uma premissa deve ser avaliada como verdadeira ou falsa – a declaração não pode ser ambígua ou deixada em aberto. O que significa que as variáveis, como estamos acostumadas a vê-las desde a álgebra, são um não-não na teoria lógica; não pelo menos sem alguma modificação.

A afirmação em negrito acima não é considerada uma premissa, pois x poderia ser 5 ou 25, tornando a afirmação verdadeira ou falsa, mas atualmente nenhuma delas. Isso, no entanto, não significa que tenhamos que excluir variáveis do nosso conjunto de ferramentas. Existe uma maneira de fazer uso de variáveis; o processo é chamado de quantificação , uma maneira inteligente de notar limites em variáveis desconhecidas na lógica. Dê uma olhada no seguinte, declaração de atualizações – isso agora é uma premissa?

para todo x, x é maior que cem

Agora que definimos o universo , ou domínio, da variável, a declaração não é mais ambigiosa – agora é uma premissa, pois ela é avaliada como categoricamente falsa. O uso deste “para todo x” é conhecido na teoria da lógica como a aplicação de um quantificador. Existem dois tipos principais de quantificadores. O primeiro, que acabamos de ver, é apropriadamente chamado de quantificador universal. Ditada por uma cabeça para baixo “A”, ?, é fácil lembrar que ele representa Um ll ou todas as instâncias possíveis dentro do universo da declaração feita. Inspecione esta segunda alteração:

existe um x maior que cem

Mais uma vez, sem remover as variáveis, encontramos uma maneira de converter uma instrução em uma premissa aplicando um quantificador, já que a instrução agora é avaliada estritamente como true . Este segundo tipo de quantificador é conhecido como o quantificador existencial . Notado por um “E” atrasado, it, geralmente é lido como “existe” ou “existe”. Ambos os quantificadores estão resumidos abaixo:

Tabelas On To Truth

Agora, com a notação básica fora do caminho, é hora de saltar para uma forma elementar de aplicação através de tabelas de verdade. Na próxima parte, começaremos definindo primeiro a equivalência na lógica; a fim de usar tabelas de verdade para analisar quais, se houver, das quatro condicionais que introduzimos são iguais entre si. Depois de inspecionar algumas declarações de exemplo, finalmente nos dirigiremos ao núcleo da teoria lógica: provas.