Teoria Lógica – Tabelas Verdadeiras

Parte III – Introdução à Ferramenta de Lógica Interdisciplinar

Jesus Najera Blocked Desbloquear Seguir Seguindo 3 de janeiro

Agora equipado com os princípios da teoria da lógica, bem como a notação básica , é hora de explorar o conceito de equivalência na lógica. Especificamente, o que faz duas premissas combinadas serem iguais?

Duas premissas de composto X e Y são logicamente equivalentes se, para cada atribuição de valores de verdade às premissas primitivas que compõem X e Y, as declarações X e Y tiverem valores de verdade idênticos.

Essa é uma definição difícil de engolir, mas é a aplicação dessa definição que nos preocupamos em aprender. Para conseguir isso, vamos percorrer vários exemplos cada vez mais complicados. Primeiro, vamos fazer um desvio para aprender um pouco mais sobre nossa Excalibur nessa jornada – uma das ferramentas mais simples, mas poderosas, para os lógicos provarem equivalência lógica: tabelas de verdade .

Introdução às Tabelas Verdadeiras

Uma tabela de verdade é uma ferramenta visual, na forma de um diagrama com linhas e colunas, que mostra a verdade ou a falsidade de uma premissa composta. É uma maneira de organizar informações para listar todos os cenários possíveis a partir das premissas fornecidas. Vamos começar com o exemplo mais simples, uma tabela de verdade descrevendo uma única manipulação de premissa: uma negação (~) de uma premissa primitiva (P)

As tabelas verdadeiras são sempre lidas da esquerda para a direita, com uma premissa primitiva na primeira coluna. No exemplo acima, nossa premissa primitiva ( P ) está na primeira coluna; enquanto a premissa resultante ( ~ P ), pós-negação, compõe a coluna dois.

É fácil pensar demais sobre as coisas aqui – não se esqueça de que uma premissa é simplesmente uma afirmação verdadeira ou falsa. Uma vez que este exemplo tem apenas uma única premissa, nós só precisamos acompanhar por dois resultados; resultando em duas linhas para quando P é verdadeiro ou quando é falso. A linha um descreve, lendo da esquerda para a direita, que se P é verdadeiro, então a negação de P é falsa; linha dois exibe que, se P já é falso, a negação de P é verdadeira.

Vamos passar para um exemplo mais complicado de tabelas de verdade na natureza, inserindo um conectivo que vimos anteriormente: a implicação (->). A fim de tornar isso um pouco mais fácil de digerir, vamos designar nossas declarações P & Q em algum contexto antes de construir nossa tabela de verdade:

P: Thanos estalou os dedos

Q: 50% de todas as coisas vivas desapareceram

Antes de olhar abaixo, pense nessa estrutura, dados os detalhes acima. Primeiro, já que temos duas premissas primitivas (P, Q), sabemos que precisaremos de pelo menos duas colunas; Além disso, devemos nos preparar para a premissa resultante com a implicação conectiva (P -> Q), que exigirá outra coluna. Um total de três colunas .

E as filas? Como temos duas premissas que podem ser verdadeiras ou falsas, a fim de considerar todos os cenários possíveis, exigimos um total de quatro linhas (PS – um corolário puro pode ser derivado dessa observação: uma tabela de verdade que representa N premissas requer linhas N²) . Vamos agora desenhar essa tabela e ter certeza de que é compreensível:

Revise a tabela de verdade acima, linha por linha. A primeira linha confirma que ambos os Thanos estalaram os dedos (P) e 50% de todos os seres vivos desapareceram (Q). Como ambas as premissas são verdadeiras, a premissa resultante (a implicação ou condicional) também é verdadeira:

A linha dois é igualmente direta no entendimento. Desta vez, P ainda é verdade, no entanto Q é agora falso. A interpretação aqui é “Thanos estalou os dedos, mas 50% de todas as coisas vivas não desapareceu.” Desde que nós estamos estabelecendo para provar a validade da implicação, faz sentido a afirmação anterior torna a premissa geral como inequivocamente falsa:

As duas últimas linhas são um pouco mais contra-intuitivas. Há um atalho aqui: só precisamos olhar a primeira coluna para registrar que a implicação é verdadeira. Nas duas linhas três e quatro, a premissa antecedente (P) é falsa – que é tudo o que precisamos saber, independentemente do valor da premissa Q, para determinar a implicação como verdadeira.

Por que um falso antecedente sempre leva a uma implicação verdadeira? Porque no universo de nossa declaração lógica, como o antecedente não aconteceu, é impossível eliminar todos os cenários possíveis que possam ter causado Q. Por exemplo, a linha 3 diz que “Thanos não encaixou seus dedos ainda 50% de todos os seres vivos desapareceram ”de qualquer maneira. Bem, para todos nós sabemos que um meteoro, desastre natural, invasão alienígena, ou uma miríade de outras atividades podem ter causado essa extinção – em qualquer um desses cenários, independentemente de qual deles, a implicação permanece verdadeira porque ainda não podemos provar o que acontece quando ele estala os dedos.

Para comprovar a equivalência

As tabelas de verdade são diagramas lisos e úteis de rastreamento lógico que aparecem não apenas na matemática, mas também na ciência da computação, na engenharia elétrica e na filosofia. A notação pode variar dependendo do setor em que você está envolvido, mas os conceitos básicos são os mesmos. Eles são uma ferramenta versátil e interdisciplinar – mas apenas arranhamos a superfície de sua utilidade.

Agora equipado com tabelas de verdade, é hora de crescer para provar equivalência entre múltiplas premissas de compostos. No próximo artigo desta série, usaremos nosso conhecimento de composição para provar que duas premissas de compostos distintos, como a implicação e o contra-positivo, são iguais.

Texto original em inglês.