Uma fácil derivação da fórmula de volume de esferas

Trabalhando 2.000 anos antes do desenvolvimento do cálculo, o matemático grego Archimedes elaborou uma fórmula simples para o volume de uma esfera:

De suas muitas contribuições matemáticas, Arquimedes ficou mais orgulhoso desse resultado, chegando mesmo a pedir que o método que ele usou para calcular a fórmula – um diagrama que circunscreve uma esfera dentro de um cilindro junto com a razão 2: 3 – seja impresso. em sua lápide.

A fórmula de Arquimedes pode ter sido um golpe de gênio científico em 250 aC, mas com a ajuda do cálculo moderno, a derivação é extremamente simples. Neste post, explicarei uma maneira de obter a famosa fórmula e explique como ela pode ser feita em outras dimensões além das três usuais.

A Derivação

Considere o diagrama abaixo. É uma esfera com raio r. O objetivo é encontrar o volume e veja como fazemos isso.

Observe que uma coisa que podemos encontrar facilmente é a área de uma única fatia horizontal da bola. Este é o disco sombreado na parte superior do diagrama, que é desenhado na altura z. O disco tem um raio de x, onde precisaremos encontrar a área do disco. Para encontrar x, podemos formar um triângulo retângulo com os lados zex, e hipotenusa r. Isso é desenhado na figura. Então podemos facilmente resolver para x.

Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que

tão resolvendo para x nós temos

Então a área do disco sombreado é simplesmente pi vezes o raio ao quadrado, ou

Agora que temos a área de um disco horizontal, queremos encontrar a área de todos os discos horizontais dentro da bola somados. Isso nos dará o volume da esfera.

Para fazer isso, nós simplesmente pegamos a integral definida da fórmula da área do disco de cima para todas as alturas possíveis z, que estão entre -r (na parte inferior da bola) e r (no topo da bola). Ou seja, nosso volume é dado por

Qual é a fórmula de volume que estávamos procurando.

Essa mesma lógica pode ser usada para derivar fórmulas para o volume de uma "bola" em 4, 5 e dimensões superiores também. Fazendo isso, você pode mostrar que o volume de uma bola unitária em uma dimensão (uma linha) é apenas 2; o volume em duas dimensões (um disco) é

e – como acabamos de mostrar – o volume em três dimensões (uma esfera) é

Continuando para quatro, cinco e finalmente n dimensões, um resultado surpreendente aparece.

Acontece que o volume de uma bola unitária atinge seu pico em cinco dimensões, e então continua a encolher a partir de então, aproximando-se de zero à medida que a dimensão n vai para o infinito.

Texto original em inglês.